足して１になるパラメータを推定する方法

例えばイベントがN個あって、それぞれが発生する確率がp_i（i=1,…,N）であるときに、p_iを推定したい。Σp_i = 1だからp_j = 1 - Σ_i≠j p_i なのでN-1個のp_iを推定したらいいのだけど、0 < p_i < 1かつ Σ_i≠j p_i < 1の条件のもとでパラメータ推定するのが難しい。のでその方法。（当たり前のことなんだけれど）

発想

p_iの比を求めて、１になるようにする。

p_1 : p_2 : … : p_N = a_1 : a_2 : … : a_N

として

p_i = a_i / (Σa_i)

とすれば、0 < p_i < 1かつ Σp_i = 1である。

ただし、b*a_i（bは正の定数）でも成り立つので、a_1 = 1（なんでもいい）としてa_i（i≠1）を推定すれば良い。推定するパラメータ数もN-1個である。